리커리시의 낙서장

포물선.pdf

원뿔을 정확히 한 개의 모선과 평행한 평면으로 절단했을 때, 포물선이 나온다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 명제를 나름의 방법으로 증명해봄. 물론 이 증명에도 태클을 걸고 싶다면 걸 수는 있다. 원뿔과 평면의 교집합이 excatly 포물선이 되지 않고 포물선의 부분집합이 되지 않냐고 따질수도 있긴 하지.^[각주:1]

(그림은 Geogebra 5.0 Beta로 만들었음)

Problem. 부피가 1이고 모든 꼭지점이 격자점인 정육면체를 단위정육면체라고 하자. 평면 ax+by+cz=0이 원점 이외의 격자점을 지나지 않는다고 하고, 그 평면 위에 서로 수직인 단위벡터 e₁,e₂가 있다. 그리고 각 변이 e₁,e₂와 평행하고, 변의 길이가 t이면서 대각선의 교점이 원점인 정사각형을 Sq라고 하자. S와 만나는 단위정육면체의 갯수를 n_t라 할 때, \lim_{n \to \infty} \frac{n_t}{t^2} 를 구하여라.

Lemma 1. xy평면상의 도형 S가 있다. S(t)를 원점을 중심으로 S를 t배 닮음변환했을 때 넓이라고 하고, 이 때 S와 만나는 단위정사각형의 총 넓이의 합을 N(t)라 하자. 이 때 

\lim _{n \to \infty} \frac{N(t)}{S(t)}=1 .

Sketch of Proof of Lemma 1. 거꾸로, 격자를 1/t배로 줄이자. 그러면 중적분과 비슷한 아이디어로, 격자를 축소하면 축소할수록 N(t)는 S(t)에 가까워진다. 정확한 증명은 격자를 1/t배로 줄인 좌표평면과, 도형을 t배 늘린 좌표평면을 비교함으로써 얻어질 수 있을 것이다.□

Lemma 2. xy평면상의 도형 S가 있다. S(t)를 원점을 중심으로 S를 t배 닮음변환했을 때 넓이라고 하고, L(k,t)를 y=k와 도형 S가 만나는 단위직선에서, 위로 올린 단위정사각형의 총 넓이라 하자. 이 때 

\lim _{n \to \infty} \frac{\sum_{k \in \mathbb{Z}} L(k,t)}{S(t)}=1

Sketch of Proof of Lemma 2. 도형이 t배 확대된 xy평면을 π라 하고, 격자가 거꾸로 1/t배로 줄어든 xy평면을 π'라 하자. 그러면 π의 직선 y=k는 π'에서 y=k/t가 된다. 따라서 π에서 L(k,t)는 π'에선 L(k/t, 1)*1/t와 같다. 이제 극한 t→∞ 를 취하면 위 식의 ∑안의 식은 y=u(u는 어떤 상수)를 도형 S가 자르는 길이가 될 것이고, 시그마 식은 적분이 되어 넓이와 같아진다. □

이제 본 문제를 풀려고 한다.

Proof of Problem.특수한 경우부터 고찰할 것이다. k<z<k+1이라 했을 때, Sq가 자르고 지나가는 단위정육면체의 갯수를 구하자. 우리는 이 문제를 평면의 문제로 환원할 수 있는데, Sq의 k<z<k+1인 부분을 z=k에 정사영시킨 도형이 지나가는 단위정사각형의 갯수를 세면 된다.
이제 k<z<k+1에서 자르고 지나가는 단위정육면체의 갯수를 N(k)라 하면

n_t = \sum _{k \in \mathbb{Z} \cup \{ 0\}}N(k)

이제 n_z를 Sq의 xy평면으로의 정사영이 만나는 단위정사각형의 갯수라 하고, z=k와 Sq의 교선을 l(k)라 하고, l(k)의 xy평면으로의 정사영이 지나가는 단위정사각형의 갯수를 nl(k)라 하자. 그러면 위 식은

2\left( n_z + \sum _{k \in \mathbb{Z}} \rm n \it l(k) \right)

가 된다. 여기서 Lemma 1에 의해

\lim_{t \to \infty} \frac{n_z}{t^2}=\lim_{t \to \infty} \frac{n_z }{ \frac{|c|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2} } t^2 } \frac{|c|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}

이다.
이제 nl(k)를 구하자. l(k)는 격자점을 지나지 않기 때문에, l(k)의 x축으로의 정사영이 지나는 단위선분의 갯수를 nl_x(k)라 하고  nl_y (k)도 비슷하게 정의할 때 nl(k) = nl_x(k) + nl_y(k) -1이 된다.

여기서 -1은 아무리 합해봐야 O(t)일 것이므로 무시할 수 있고, 대칭성에 의해 nl_x(k)의 합만 구해도 무방하다. l(k)가 모두 Sq 위에 있으므로 l_x(k)들도 모두 Sq를 yz평면 위에 정사영 한 모양을 이룬다. 따라서 lemma 2에 의해

\lim_{t \to \infty} \frac{\sum_{k \in \mathbb{Z}} \rm n \it l_x(k)}{t^2} = \lim_{t \to \infty} \frac{\sum_{k \in \mathbb{Z}} \rm n \it l_x(k)}{\frac{|a|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}t^2}\frac{|a|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2}}

가 된다. 따라서

\lim_{t \to \infty} \frac{n_t}{t^2} = \frac{|a|+|b|+|c|}{\sqrt{a^2 +b^2 +c^2 }}

포공 면접 기출로 몇 번 나왔던 문제로 기억합니다.

Problem. \alpha >0일 때, \sum _{n=0} ^{\infty} \{ n\alpha \}가 수렴하는 \alpha를 모두 구하여라.

Solution. 위 합이 수렴할 필요충분조건은 \alpha가 정수인 것이다. 정수라면 위 합이 수렴함이 자명하다.
그리고 정수가 아닐 경우 다음 Lemma가 성립한다.

Lemma. \{ n\alpha \} \ge 0.5 인 n이 무한히 많다.

Proof of Lemma. 만약 유한하다고 하면, 어떤 자연수 N이 있어 \{ N\alpha \}, \{ (N+1)\alpha \},\{ (N+2)\alpha \},\cdots가 모두 0.5보다 작아야 한다. 그러면 이 수열은 계속 증가하는 등차수열이 되는데, 강증가하면서 유계인 등차수열은 없다. ■

이제 우리는 \sum _{n=0} ^{\infty} \{ n\alpha \}> \sum _{\{ n\alpha \} \ge 0.5} \{ n\alpha \}>\sum _{\{ n\alpha \} \ge 0.5} 0.5}로부터 \alpha \notin \mathbb{Z}일 때 주어진 합이 발산함을 안다. ■

사족을 달자면, 0.5 대신 0.1, 1/π 같은 걸 써도 전혀 상관없음을 알 수 있습니다.

Problem 1. 볼록사각형 ABCD를 밑면으로 하는 뿔 O-ABCD가 있다. 이 뿔의 단면이 평행사변형이 되도록 하는 단면이 있음을 보여라.

Thinking. 그 평면을 이미 찾았다고 가정해보고, 평행사변형을 PQRS(각각 OA=a, ... 위에 있음)라 하자. 그러면 평면을 위아래로 왔다갔다 이동시키면 계속 평행사변형이니까, 점 하나를 고정시킬 수 있다.

그래서 한 번 P를 고정시켜보았지만, 아무런 성과가 없었다. 그러면 어떻게 찾을 수 있을 것인가...

그랬다가 AC와 BD의 교점을 쓸 생각을 해보았다. 그렇다면 평면 AC와 BD의 교선 위에 점을 하나 고정시키면 되겠다. 그 점을 T라 하면, T는 평행사변형의 대각선의 교점이 되어야 하고... !!

Lemma 1. 각 XOY이 있고, 그 내부에 점 T가 있다. T를 지나는 직선이 반직선 OX, OY와 X', Y'라 하면, X'T=Y'T를 만족하게 하는 직선이 존재한다.

이것의 증명은 쉬운 편이다 X'T/Y'T를 함수로 생각하고, 중간값 정리를 쓰면 된다.

Proof of Problem 1.

각 AOC와 점 T에 대해 Lemma를 적용시켜 점 P,R을 찾고, 각 BOD와 점 T에 대해 또 Lemma를 적용시켜 점 Q,S를 찾으면 된다.

이 글은 제가 이차곡선을 배우면서 터득한 내용 중 일부를 정리한 것입니다.

 검색하다보면 이차곡선의 성질을, 도형의 방정식을 일일히 구해서 힘들게 푸는 경우가 많습니다. 이 글에서는 타원과 쌍곡선의 성질, 특히 선분의 길이나 비례에 관련된 성질을 간단한 일차변환을 통해 증명하는 방법을 소개하려고 합니다.

 우리가 생각할 변환은 다음 꼴 행렬로 나타내어지는 변환입니다 :\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (k \in \mathbb{R})

 물론 이 변환은 행렬이 아니라 순수히 기하학적으로만 정의할 수도 있습니다 : 주어진 직선 l에 대해, 점 P와 l 사이의 거리가 k배가 되게 옮기는 변환으로 정의됩니다. 우리는 이 변환을 편의상 '압축변환'혹은 '팽창변환'이라고 부릅시다.

 타원의 방정식과 쌍곡선의 방정식을 생각해보면, 이들은 위 변환으로 각각 원과 직각쌍곡선으로 바꿀 수 있다는 걸 알 수 있습니다. 이러한 변환을 거치면 문제는 좀 더 쉬워질 것입니다. 자, 그러면 어떻게 쓰는 지 보죠. 

이 글은 독자가 일차변환의 여러 성질과 간단한 논증기하에 익숙하다고 가정합니다.

Theorem 1. 타원의 두 현이 평행할 때, 두 현의 중점을 잇는 직선은 타원의 중심을 지난다.

Proof of Theorem 1. 원이 아닌 임의의 타원의 경우, 어느 축에 대해^[각주:1] 타원을 압축 또는 팽창시키면, 원의 경우로 바꿔서 생각할 수 있다. 그런데 원에 대해서 이 정리가 성립함은 자명하다. □

Theorem 2. 타원 위의 임의의 점 P에서 접선과 평행하고, 타원의 중심을 지나는 직선이 타원과 만나는 두 점을 A,B라 하면, △PAB의 넓이는 일정하다. (출처 : http://mathjk.tistory.com/389)

[그림 1]

Proof of Theorem 2.  원의 경우엔, PAB가 직각이등변삼각형이므로 넓이가 a²로 일정함을 쉽게 알 수 있다. 원이 아닌 타원의 경우엔, 길이 2a인 장축에 대해 원이 되도록 팽창시켰을 때 넓이가 일정하므로, 타원인 경우에도 넓이가 일정함을 알 수 있다. 넓이가 b/a배 변한다는 것에 유의하면, 넓이가 ab로 일정하다는 것도 알 수 있다. □

저 출처로 들어가시면, 풀이에서 쓴 계산이 조금 복잡하다는 걸 알 수 있습니다. 그와 대조적으로, 이 풀이에선 일차변환을 한번 써서 자명한 명제로 만들었습니다.

[그림 2]

Theorem 3. 타원 위의 점 P에서의 접선과 장축의 교점을 Q라고 하자. P에서 장축으로 내린 수선의 발을 H라 하면, OH×OQ=a²이다.

Proof of Theorem 3.  원의 경우엔 자명히 성립한다. 이제 원이 아닌 타원의 경우를 생각하고, 타원이 원이 되도록 장축에 대해 팽창시키자. 이 때 Q는 그대로 있게 되고, P를 변환시켜 얻은 P'은 팽창변환의 정의에 의해 장축에 대한 정사영이 H이다. 따라서 원인 경우에 대해 성립하므로, 타원의 경우에도 성립하게 된다.□

당연히, 단축에 대해서도 비슷한 정리가 성립합니다. 이번엔 법선과 관련되어 조금 어려운 문제를 풀겠습니다.

Theorem 4. [그림 2]에서, R은 장축과 P에서의 법선의 교점이라고 하자. 그러면 OQ×OR=a²-b²이다.

Proof of Theorem 4.  P'H²=OH×QH므로 PH²=(b/a)²×OH×QH이다. 한편 PH²=RH×QH이므로 RH=(b/a)²×OH⇔RH/OH=(b/a)²이고, 이를 Theorem 3의 결과에 곱하면 OQ×RH=b²을 얻는다. 이제, Theorem 3에 이 결과를 빼면 OQ×OR=a²-b²을 얻는다.□

여기서도 단축에 대해 비슷한 정리가 성립합니다.

이 문제는 77ant님의 블로그에 있던 Lemma입니다. (출처:http://blog.naver.com/77ant/40072182663)

Theorem 5. 점 P, Q와 타원이 주어져있다. 점 P를 지나는 현 AB와 CD가 점 Q를 지나는 현 EF와 GH와 각각 평행하다고 할 때,\frac{PA\cdot PB}{PC \cdot PD}=\frac{QE\cdot QF}{QG \cdot QH}이다.

[그림 3]

Proof of Theorem 5. 여기선 점 X에 대해, X의 장축에 대한 정사영을 X^＊로, 압축(팽창)변환으로 옮겨진 점은 X'으로 쓴다.

 원인 경우, 방멱정리로부터 두 값이 1로 같다는 것을 알 수 있다. 이제 원이 아닌 타원의 경우에는, 원이 되도록 장축에 대해 팽창시키자.

그러면 AB, EF가 평행하므로　 \frac{PA\cdot PB}{QE \cdot QF}=\frac{P^\ast A^\ast \cdot P^\ast B^\ast}{Q^\ast E^\ast \cdot Q^\ast F^\ast}=\frac{P'A' \cdot P'B'}{Q'E' \cdot Q'F'}이고, 비슷한 이유에서 \frac{PC\cdot PD}{QG \cdot QH}=\frac{P'C' \cdot P'D'}{Q'G' \cdot Q'H'}인데, 원에서 \frac{P'A' \cdot P'B'}{Q'E' \cdot Q'F'}=\frac{P'C' \cdot P'D'}{Q'G' \cdot Q'H'}이므로 주어진 명제가 원이 아닌 타원에 대해서도 성립한다. □

참고로, P와 P'는 타원 외부에 있어도 됩니다.

이제 타원에 대한 이야기는 이쯤으로 접어두기로 하고, 쌍곡선을 어떻게 다룰 수 있을 지 설명하겠습니다.

우선, 직각쌍곡선에 대해 이런 성질들이 성립합니다.

Theorem 6. 기울기가 일정한 현의 자취는 중심을 지나는 (연장했을 때 중심을 지나는)직선이다.

Theorem 7. 직각쌍곡선 위의 점 P에서 그은 접선이 점근선과 A,B에서 만난다고 하면, P는 AB의 중점이다.

Theorem 8. 임의의 직선이 점근선과 A,B에서, 직각쌍곡선과 P,Q에서 만난다고 할 때, AP=QB이다.

Theorem 9. 직각쌍곡선 위의 어떤 점을 잡더라도, 그 점과 각 점근선까지의 거리의 곱은 일정하다.

Theorem 10. 직각쌍곡선의 접선과 점근선이 이루는 삼각형의 넓이는 일정하다.

Proof of Theorems. 직각쌍곡선 xy=1을 생각합시다. 그 이외의 직각쌍곡선은 닮음변환 등으로 얻어낼 수 있습니다.

Theorem 6. 상수 a와 변수 b에 대해, y=ax+b와 y=1/x의 두 교점의 중점의 좌표는 (-b/2a, b/2)가 되어 y=-ax위에 있다.

Theorem 7. 점 P(p,1/p)를 지나는 접선 의 x절편은 2p, y절편은 2/p이므로 P가 중점이 된다.

Theorem 9. 자명하다.

Theorem 10. Theorem 8을 생각하면 2로 일정하다는 것을 알 수 있다.

Theorem 8은 증명이 조금 복잡합니다. 물론 식 계산을 하면 단순하게 증명되겠지만, 여기서는 위 정리들을 활용하여 증명하고자 합니다.

[그림 4]

Proof of Theorem 8. 우선, 직선이 쌍곡선의 한쪽 부분에서만 만나는 경우를 생각하자. 이제 P,Q의 중점을 M라 하고, 쌍곡선의 중심 O와 이은 직선이 P가 있는 쌍곡선과 만나는 교점을 N이라 하자. 그러면 Theorem 7,8에 의해 N에서의 접선은 PQ와 평행하고, CN=DN이다. 따라서 ON은 삼각형 COD의 중선이며, 이는 삼각형 AOB에 대해서도 마찬가지이다.^[각주:2] 따라서 AM=BM이고, AP=QB가 성립한다.

 직선이 쌍곡선의 두 부분에서 한 점씩 만나는 경우엔, 위 증명에서 N을 주어진 직각쌍곡선의 켤레와 OM의 교점으로 보면 위와 비슷하게 증명할 수 있다. □

[그림 5]

이제 위 정리들을 일반화하려고 합니다. 우선, 앞의 세 정리와 Theorem 10은 쉽게 일반화됩니다.

Theorem 11. 평행한 두 직선이 쌍곡선와 각각 P와 Q, P'과 Q'과 만난다. PQ의 중점을 M, P'Q'의 중점을 M'이라 하면 M,M'은 쌍곡선의 중심을 지나는 직선 위에 있다.

Theorem 12. 쌍곡선 위의 점 P에서 그은 접선이 점근선과 A,B에서 만난다고 하면, P는 AB의 중점이다.

Theorem 13. 임의의 직선이 점근선과 A,B에서, 쌍곡선과 P,Q에서 만난다고 할 때, AP=QB이다.

Theorem 14. 쌍곡선의 접선과 점근선이 이루는 삼각형의 넓이는 일정하다.

 증명도 그리 어렵지 않습니다. 주축에 대한 압축(팽창)을 시키면 직각쌍곡선으로 바꿀 수 있고, 일차변환이 일직선상에 있는 길이의 비를 보존하므로 앞의 세 정리가 직각쌍곡선이 아닌 쌍곡선에 대해서도 일반화됩니다. 비슷하게 Theorem 14도 증명됩니다.

그러나 Theorem 9는 조금 다릅니다.

Theorem 15. 쌍곡선 위의 어떤 점 P를 잡자. P를 지나며 쌍곡선에 평행한 두 직선이 점근선과 각각 Q,R에서 만난다고 하면, PQ×PR이 일정하다.

 이것 역시 증명은 쉽습니다. 그러나, 우리는 Theorem 15를 좀 더 일반화하려고 합니다.

Theorem 16. 벡터 OP,OQ가 주어져있다. 점근선이 l,m인 쌍곡선 상에 임의로 주어진 점 A에 대해 OP 방향으로 직선을 그어 l과 만나는 교점을 D, OQ 방향으로 직선을 그어 m과 만나는 교점을 E이라 하자. 그러면 AD×AE가 일정하다.

[그림 6]

Proof of Theorem 16. 

Theorem 15에 의해 AB×AC가 일정하다. 그리고 AD, AE는 A의 위치에 상관없이 각각 AB, AC에 대해 항상 각 α,β(상수)를 이룬다. 두 점근선이 이루는 각을 θ라 하면, △ADB와 △AEC에 sine법칙을 써서 AD,AB가 각각 AB,AC의 상수배 차이가 난다는 것을 보일 수 있다. (∵∠DBA=∠ECA=θ) □

Corollary 17. 쌍곡선 상의 임의의 점 A에 대해, A와 각 점근선 사이의 거리의 곱은 일정하다.

Proof of Corollary 17. OP, OQ를 각각 점근선에 수직하게 잡으면 Theorem 16에 의해 증명된다. □

Corollary 18. 쌍곡선 상의 임의의 점 A에 대해, 기울기가 일정한 직선을 그어 점근선과 만나는 점을 각각 B,C라 하자. A의 위치에 상관없이 AB×AC가 일정하다.

Proof of Corollary 18. OP, OQ를 평행하게 잡으면 Theorem 16에 의해 증명된다. □

아래는 연습문제입니다. 

Exercise 1. 타원 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}에서, A, B는 각각 타원의 장축 위에 있는 꼭지점이며, P는 (1,0)이다. P를 지나며 장축에 수직한 직선이 타원과 만나는 어떤 점을 Q라고 하자. 이때 PQ를 구하여라. 단, 타원의 방정식으로 Q의 좌표를 구하면 안 된다.

Exercise 2. 타원의 장축 위의 꼭지점을 각각 A,B라 하자. 타원 위의 점 P에 대해, P를 지나는 접선이 A를 지나며 장축에 수직인 직선과는 C에서, B를 지나며 장축에 수직인 직선과는 D에서 만난다고 할 때, AA'×BB'=b²임을 보여라. 여기서 b는 단반경의 길이다.

Exercise 3. 중심이 O인 타원의 장축 AB에 대해, A를 지나는 직선이 원, 단축과 각각 P,Q에서 만난다. 또 PQ에 평행이고, O를 지나는 직선과 타원의 교점 중 하나를 R이라 하자. 이때 AP×AQ/OR²이 P의 위치에 상관없이 1/2로 일정함을 보여라.

Exercise 4. 타원이 주어져있고, 서로 켤레인 지름^[각주:3] a,b가 있다. 중심이 타원 위에 있고, a,b에 접하는 원은 최대 두 종류가 있다. 그 반지름을 각각 r₁,r₂라 하자. r₁=r₂를 보여라.

제가 이 글을 쓰게 된 동기는 아래 글 때문입니다.

http://blog.naver.com/lovetaehong?Redirect=Log&logNo=130091131924&from=postView

 이 글을 보고 나서 저는 방멱이니, 근축이니 뭐니 하는 것들에 호기심이 생겼습니다. 비록 저 글 안에 걸린 링크에도 설명되어있지만, 설명이 부실한 듯 합니다. 그런데 이차곡선을 공부하던 중 좋은 자료를 찾았기에, 거기 있는 내용을 중심으로 방멱(Power), 근축(Radical Axis) 등에 대해 설명하고, 위 의문을 해결해보기로 하겠습니다.

 고등학교 수학을 배우다보면 이런 걸 배우게 되죠 : 두 원의 방정식

f(x,y)=x^2+y^2+Ax+By+C=0,~~g(x,y)=x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0

f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0,
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+A'x+B'y+C'z+D'=0

은 교집합(원)을 포함하는 구가 됩니다. 역시 t=-1이면 이 식은 평면의 방정식이 되므로 교집합을 포함하는 평면이 되겠지요. 그러면 이렇게 물어볼 수 있습니다.

　"만나는 경우는 그렇다 쳐도, 두 원이 만나지 않으면 기하학적으로 어떻게 해석하지요?"^[각주:1]

...어떻게 해석해야 할까요. 이를 위해서 '방멱'(Power, 方冪)을 알아야 합니다. 

 이 단어를 우리말로 풀어쓰면 '방향곱'입니다.

　"그런데 평면에서 방향이라니, 갑자기 벡터가 왜 나오지? 그러면 방멱은 내적이나 외적이라도 된단 말인가..."

 어떻게 보면 그럴수도 있겠군요. 왜냐하면 방멱은 두 유향선분의 길이의 곱이기 때문이죠. 여기서 잠시 유향선분에 대해서 설명하자면, 흔히들 선분의 길이를 따질 때는 두 점 사이의 거리만을 생각합니다. 그러나 유향선분의 길이를 따질때는 방향도 생각합니다. 예를 들도록 하죠. 세 점 A,B,C가 일직선상에 아래 그림과 같이 있다고 생각합시다.

[그림 1] 

위에서 A→B 방향을 (+)로 생각합시다. 여기서 유향선분 AB의 길이는 2가 되고, BA의 길이는 -2가 됩니다. 그리고 두 선분의 길이의 곱 AB×AC= BA×CA=10이고, BA×BC=AB×CB=-6입니다.

 유향선분의 부호에는 방향각에서 "시계방향이 (+)야!"와 같은 기준은 없습니다. 즉, 위 그림에서 A→B 방향을 (+)로 잡아도 되지만 B→A 방향을 (+)로 잡아도 문제 없습니다. 그리고 방향을 생각할 때는 일직선상에 있는 것들끼리만 생각합니다.

 그런데 위에서 한 '두 유향선분의 곱'이 방멱에 대한 정확한 설명은 아닙니다. 방멱은 다음과 같이 정의됩니다.

Definition 1. 어느 점 P와 반지름이 r인 원 O가 주어져있다고 하자. 여기서 원 O에 대한 P의 방멱은 OP^2 -r^2 이다.

 정의가 다소 뜬금없습니다. 그러나 이렇게 정의한 것은 아래 그림을 보면 알 수 있습니다.

[그림 2] 방멱을 위 식과 같이 정의한 이유

 왼쪽 그림(P가 원 바깥에 있는 경우)을 보면, P를 지나며 원과 A,B에서 만나도록 직선을 임의로 잡으면, 유향선분 PA와 PB는 같은 방향입니다. 따라서 PA\times PB > 0이여야 합니다. 한편 OP와 원의 교점을 C,D라 하면 여러분이 중학교때 배웠을 원의 성질에 의해  PA\times PB=PC\times PD=(OP+r)(OP-r)=OP^2-r^2^[각주:2]입니다. 

 그리고 오른쪽 그림(P가 원 내부에 있는 경우)을 보면, 유향선분 PA와 PB의 방향이 다르므로 PA\times PB < 0이고, 역시 원의 성질에 의해 PA\times PB=PC\times PD=(OP+r)(OP-r)=r^2-OP^2^[각주:3]입니다.

(x'-a)^2+(y'-b)^2-r^2=(x-a')^2+(y-b')^2-r'^2 \Leftrightarrow
[(x'-a)^2+(y'-b)^2-r^2]-[(x-a')^2+(y-b')^2-r'^2]=0

 여기서 우리는 위 의문의 답을 얻을 수 있습니다. 두 원의 방정식을 뺐을 때 얻는 직선은 두 원으로부터 방멱이 같은 점들의 집합입니다. 우리는 이 직선을 근축(Radical Axis)라고 정의합니다.

Definition 2. 동심원이 아닌 두 원에 대해, 방멱이 같은 점들의 집합을 근축이라 정의한다.

위 직선식의 형태를 보면, (a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y=k꼴임을 알 수 있습니다. 한편 두 원의 중심을 이은 직선의 방향벡터는 (b_1-b_2, -(a_1-a_2)입니다. 따라서 원의 방정식을 빼서 얻은 직선은, 원의 중심끼리 이은 선분에 수직입니다.^[각주:4] 따라서 우리는 이렇게 정리할 수 있습니다.

Throrem 1. 근축은 두 원의 중심을 잇는 선분에 수직인 직선이다. ^[각주:5]

 물론 이와 비슷하게 구에 대해서도 방멱을 비슷하게 정의할 수 있고, 위와 비슷한 과정으로 두 구의 방정식을 빼서 얻은 평면의 방정식은, 두 구에 대한 방멱이 같은 점들의 집합(근평면이라고 부릅니다)이라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 평면의 방향벡터를 구해보면 원의 중심을 이은 벡터와 평행하다는 것을 알 수 있습니다. 

 위에 나온 설명을 읽어보시면 Theorem 1이 증명되었다는 걸 아실 수 있습니다만, 이런 불만을 가진 사람들이 있습니다.^[각주:6]

　"나는 해석기하를 이용한 증명이 맘에 들지 않아!"

 그런 분들을 위해 논증적인 증명도 소개할까 합니다. 잠시 위에 있는 해석기하학적인 증명을 배제합시다. 즉, 아직 Theorem 1과 이를 3차원으로 확장한 정리는 아직 증명되지 않았다고 생각합시다. 앞으로 제가 할 증명은 두 원이 만나는 경우와 만나지 않는 경우를 따로 증명합니다.

Proof of Theorem 1.^[각주:7]

[Case 1] 두 원이 두 점에서 만나는 경우 

[그림 3] 두 원이 두 점에서 만나는 경우에 대한 Theorem 1의 증명

 우선 두 원 O, O'의 교점 A,B를 지나는 직선 위에 있는 점들은 모두 두 원에 대한 방멱이 같음을 보이겠습니다. 위 그림과 같이 그 직선 위에 임의의 점 P를 잡고, O와는 C,D에서 만나고, O'와는 C',D'에서 만난다고 합시다. 그러면 중학교 때 배웠듯이 원의 성질에서 PC×PD=PA×PB=PC'×PD'입니다. 그리고 P가 원 O의 안에 있으면 역시 O'의 안에도 있고, 원 O의 밖에 있으면 역시 O'의 밖에 있다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 직선 AB상의 모든 점에서 O에 대한 방멱과, O'에 대한 방멱은 같습니다.

 그리고 점이 다른 위치에 있으면 방멱이 같을 수 없음을 보이겠습니다. 직선 AB 위에 있지 않은 점 Q를 생각합시다. 그러면 QA는 원 O, O'과 각각 E,F에서 만나는데 유향선분 QE와 QF는 길이가 다릅니다. 따라서 QA×QE와 QA×QF도 다르고, Q는 두 원에 대한 방멱이 다릅니다. 그래서 공통현에 있는 점에 대해서만 방멱이 같습니다. 그리고 공통현은 원의 중심을 잇는 직선에 수직입니다. 따라서 [Case 1]가 증명되었습니다.

[Case 2] 두 원이 한 점에서 만나는 경우

 위에서 직선 AB만 공통접선으로 바꿔주면 됩니다.

 여기서 좀 뜬금없을진 모르겠으나, [Case 1], [Case 2]를 입체로 확장하겠습니다. 이는 [Case 3]를 증명하는데 쓰입니다.

Lemma 1. 두 구가 교집합을 가질 때, 근평면^[각주:8]은 원을 포함하는 평면이거나, 공통접평면이다.^[각주:9] 그리고 근평면은 원을 잇는 직선에 수직이다.

Proof of Lemma 1.
 [Case 1]과 비슷하게 증명됩니다. 다만 원을 포함하는 평면(혹은 공통접평면)상에 있는 임의의 점이 구에 대한 방멱이 같은 점임을 증명할 때, 교집합(원)과 만나도록 아무 직선이나 긋고 방멱을 비교해주면 됩니다. 그리고 수직이라는 것은 자명합니다. 

[Case 3] 두 원이 만나지 않는 경우

  꽤 놀라운 테크닉을 사용합니다. 아래 그림과 같이 O를 포함하는 구 S와 O'를 포함하는 구 S'가 서로 만난다고 생각합시다. 그런 구가 있다는 것은 자명합니다.

[그림 4] 두 원이 만나지 않는 경우에 대한 Theorem 1의 증명

 그러면 Lemma 1에 의해 두 구에 대한 방멱이 같은 집합은 평면 α입니다. 여기서 평면과 원 O, O'을 포함하는 평면의 교선 l이 두 원에 대한 근축입니다. 왜냐하면 α는 S와 S'에 대해 방멱이 같으므로, l 위에 있는 점들도 S와 S'에 대해 방멱이 같은데, O가 포함되는 평면에서, S에 대한 방멱은 O에 대한 방멱과 같기 때문입니다. 그리고 O에 대한 방멱과 O'에 대한 방멱이 같은 점집합이 정확히 l이란 것은 Lemma 1에 의해 보장됩니다. 

 또한, Lemma 1에서 α와 OO'은 수직이므로 l도 OO'과 수직입니다. 따라서 [Case 3]까지 증명되어 Theorem 1이 증명되었습니다.

 다음 글에서는 근축에 대한 몇 가지 흥미로운 정리들과 Pencil에 대해 소개하겠습니다.

^[각주:10]

 이 글은 다소 식상한 글이 되겠습니다.

 우선, 복소수 범위 내에서 이차방정식을 풀려고 합니다. 우선 간단한 꼴의 이차방정식

x^2=k

는 k가 0이 아닌 이상에야 편각이 π 차이나는 두개의 근을 갖습니다. 이 근 중 앞으로 편의상 k^{1/2}로 쓰겠습니다

이를 이용해서 복소수 a,b,c^[각주:1]에 대한 이차방정식

ax^2+bx+c=0

을 역시 풀 수 있고, a,b,c가 실수일 때 근의 공식을 유도하던 것과 과정이 똑같습니다. 즉

x=\frac{-b\pm (b^2-4ac)^{1/2}}{2a}

입니다.

 그러면 이제 복소수 a,b,c,d에 대한 삼차방정식

ax^3+bx^2+cx+d=0

를 풀겠습니다. 위 식을 a로 나누고 x 대신 x-b/3a을 대입하면 이 방정식은

x^3+px+q=0

꼴로 고쳐집니다. 이 방정식을 풀 수 있으면 일반적인 삼차방정식의 해를 구할 수 있습니다.^[각주:2] 또 p,q가 동시에 0인 경우는 해를 금방 구할 수 있으니, 둘 중 하나는 0이 아니라고 가정합니다.

 우리는 아래 인수분해 공식에서 풀이를 착안하려고 합니다.

x^3+u^3+v^3-3xuv=(x+u+v)(x^2+u^2+v^2-xu-uv-vx)

\iff x^3-3uvx+(u^3+v^3)=(x+u+v)[x^2-(u+v)x+(u^2-uv+v^2)]

위 식을 보고 어떻게 삼차방정식을 풀 것인지 아시겠나요? p=-3uv, q=u^3+v^3를 만족하는 u,v를 구할 수 있다면, 우리는 삼차방정식의 해를 구할 수 있습니다.

 그러면 직접 구해보지요. 근과 계수의 관계를 이용하면 다음과 같이 u³,v³에 대한 방정식을 세울 수 있습니다.

t^2-qt-\left(\frac{p}{3}\right) ^3

 위 근의 공식에 의해서, 위 방정식의 근은

t=\frac{1}{2} \left(q \pm \sqrt{q^2+4\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right) = \frac{q}{2} \pm \left(\sqrt{ \left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right)

 위 식에서 편의상 ±가 +인 것을 u³, -를 v³라 합시다. 물론 위 식은 아직 u³,v³을 구했을 뿐입니다. 여기서 주의하셔야 할 점은, x³=k의 근은 복소수 범위 내에서 항상 3개란 겁니다. ^[각주:3] 정확히는 x³=1의 근 중 편각이 2π/3인 것을 ω라 할 때,

k^{1/3}, k^{1/3}\omega , k^{1/3}\omega ^2

입니다. 여기서 k^{1/3}는 세 개의 근 중 하나를 아무거나 고른 것입니다. 위에서 u,v도 마찬가지입니다. u,v는 각각 세종류이고, 따라서 구할 수 있는 (u,v)의 순서쌍은 9개가 됩니다.

"음...? 그럼 삼차방정식의 근이 몇개가 되는 것임요? 아니, 대수학의 기본정리에 따라 3개여야 하잖아요."

 물론 아닙니다. 원래 걸려있는 조건은 p=-3uv인데, 우리는 그 조건의 충분조건인 p³=-27u³v³를 썼습니다. 따라서 아홉 개의 순서쌍 중 p=-3uv을 만족하는 것은 정해져 있습니다. 그리고 그런 순서쌍은 물론 정확히 3개입니다. 그리고 어느 순서쌍 (u,v)를 취하건, 같은 식을 인수분해한 것이기 때문에 근은 세 경우에 대해 똑같이 나옵니다. 따라서 우리는 주어진 삼차방정식이 어떻게 일차식과 이차식으로 인수분해되는지 알 수 있습니다.

 따라서 우리는 복소수 범위에서 삼차방정식의 근을 구했습니다.