이차곡선과 일차변환

이 글은 제가 이차곡선을 배우면서 터득한 내용 중 일부를 정리한 것입니다.

 검색하다보면 이차곡선의 성질을, 도형의 방정식을 일일히 구해서 힘들게 푸는 경우가 많습니다. 이 글에서는 타원과 쌍곡선의 성질, 특히 선분의 길이나 비례에 관련된 성질을 간단한 일차변환을 통해 증명하는 방법을 소개하려고 합니다.

 우리가 생각할 변환은 다음 꼴 행렬로 나타내어지는 변환입니다 :\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (k \in \mathbb{R})

 물론 이 변환은 행렬이 아니라 순수히 기하학적으로만 정의할 수도 있습니다 : 주어진 직선 l에 대해, 점 P와 l 사이의 거리가 k배가 되게 옮기는 변환으로 정의됩니다. 우리는 이 변환을 편의상 '압축변환'혹은 '팽창변환'이라고 부릅시다.

 타원의 방정식과 쌍곡선의 방정식을 생각해보면, 이들은 위 변환으로 각각 원과 직각쌍곡선으로 바꿀 수 있다는 걸 알 수 있습니다. 이러한 변환을 거치면 문제는 좀 더 쉬워질 것입니다. 자, 그러면 어떻게 쓰는 지 보죠. 

이 글은 독자가 일차변환의 여러 성질과 간단한 논증기하에 익숙하다고 가정합니다.

Theorem 1. 타원의 두 현이 평행할 때, 두 현의 중점을 잇는 직선은 타원의 중심을 지난다.

Proof of Theorem 1. 원이 아닌 임의의 타원의 경우, 어느 축에 대해^[각주:1] 타원을 압축 또는 팽창시키면, 원의 경우로 바꿔서 생각할 수 있다. 그런데 원에 대해서 이 정리가 성립함은 자명하다. □

Theorem 2. 타원 위의 임의의 점 P에서 접선과 평행하고, 타원의 중심을 지나는 직선이 타원과 만나는 두 점을 A,B라 하면, △PAB의 넓이는 일정하다. (출처 : http://mathjk.tistory.com/389)

[그림 1]

Proof of Theorem 2.  원의 경우엔, PAB가 직각이등변삼각형이므로 넓이가 a²로 일정함을 쉽게 알 수 있다. 원이 아닌 타원의 경우엔, 길이 2a인 장축에 대해 원이 되도록 팽창시켰을 때 넓이가 일정하므로, 타원인 경우에도 넓이가 일정함을 알 수 있다. 넓이가 b/a배 변한다는 것에 유의하면, 넓이가 ab로 일정하다는 것도 알 수 있다. □

저 출처로 들어가시면, 풀이에서 쓴 계산이 조금 복잡하다는 걸 알 수 있습니다. 그와 대조적으로, 이 풀이에선 일차변환을 한번 써서 자명한 명제로 만들었습니다.

[그림 2]

Theorem 3. 타원 위의 점 P에서의 접선과 장축의 교점을 Q라고 하자. P에서 장축으로 내린 수선의 발을 H라 하면, OH×OQ=a²이다.

Proof of Theorem 3.  원의 경우엔 자명히 성립한다. 이제 원이 아닌 타원의 경우를 생각하고, 타원이 원이 되도록 장축에 대해 팽창시키자. 이 때 Q는 그대로 있게 되고, P를 변환시켜 얻은 P'은 팽창변환의 정의에 의해 장축에 대한 정사영이 H이다. 따라서 원인 경우에 대해 성립하므로, 타원의 경우에도 성립하게 된다.□

당연히, 단축에 대해서도 비슷한 정리가 성립합니다. 이번엔 법선과 관련되어 조금 어려운 문제를 풀겠습니다.

Theorem 4. [그림 2]에서, R은 장축과 P에서의 법선의 교점이라고 하자. 그러면 OQ×OR=a²-b²이다.

Proof of Theorem 4.  P'H²=OH×QH므로 PH²=(b/a)²×OH×QH이다. 한편 PH²=RH×QH이므로 RH=(b/a)²×OH⇔RH/OH=(b/a)²이고, 이를 Theorem 3의 결과에 곱하면 OQ×RH=b²을 얻는다. 이제, Theorem 3에 이 결과를 빼면 OQ×OR=a²-b²을 얻는다.□

여기서도 단축에 대해 비슷한 정리가 성립합니다.

이 문제는 77ant님의 블로그에 있던 Lemma입니다. (출처:http://blog.naver.com/77ant/40072182663)

Theorem 5. 점 P, Q와 타원이 주어져있다. 점 P를 지나는 현 AB와 CD가 점 Q를 지나는 현 EF와 GH와 각각 평행하다고 할 때,\frac{PA\cdot PB}{PC \cdot PD}=\frac{QE\cdot QF}{QG \cdot QH}이다.

[그림 3]

Proof of Theorem 5. 여기선 점 X에 대해, X의 장축에 대한 정사영을 X^＊로, 압축(팽창)변환으로 옮겨진 점은 X'으로 쓴다.

 원인 경우, 방멱정리로부터 두 값이 1로 같다는 것을 알 수 있다. 이제 원이 아닌 타원의 경우에는, 원이 되도록 장축에 대해 팽창시키자.

그러면 AB, EF가 평행하므로　 \frac{PA\cdot PB}{QE \cdot QF}=\frac{P^\ast A^\ast \cdot P^\ast B^\ast}{Q^\ast E^\ast \cdot Q^\ast F^\ast}=\frac{P'A' \cdot P'B'}{Q'E' \cdot Q'F'}이고, 비슷한 이유에서 \frac{PC\cdot PD}{QG \cdot QH}=\frac{P'C' \cdot P'D'}{Q'G' \cdot Q'H'}인데, 원에서 \frac{P'A' \cdot P'B'}{Q'E' \cdot Q'F'}=\frac{P'C' \cdot P'D'}{Q'G' \cdot Q'H'}이므로 주어진 명제가 원이 아닌 타원에 대해서도 성립한다. □

참고로, P와 P'는 타원 외부에 있어도 됩니다.

이제 타원에 대한 이야기는 이쯤으로 접어두기로 하고, 쌍곡선을 어떻게 다룰 수 있을 지 설명하겠습니다.

우선, 직각쌍곡선에 대해 이런 성질들이 성립합니다.

Theorem 6. 기울기가 일정한 현의 자취는 중심을 지나는 (연장했을 때 중심을 지나는)직선이다.

Theorem 7. 직각쌍곡선 위의 점 P에서 그은 접선이 점근선과 A,B에서 만난다고 하면, P는 AB의 중점이다.

Theorem 8. 임의의 직선이 점근선과 A,B에서, 직각쌍곡선과 P,Q에서 만난다고 할 때, AP=QB이다.

Theorem 9. 직각쌍곡선 위의 어떤 점을 잡더라도, 그 점과 각 점근선까지의 거리의 곱은 일정하다.

Theorem 10. 직각쌍곡선의 접선과 점근선이 이루는 삼각형의 넓이는 일정하다.

Proof of Theorems. 직각쌍곡선 xy=1을 생각합시다. 그 이외의 직각쌍곡선은 닮음변환 등으로 얻어낼 수 있습니다.

Theorem 6. 상수 a와 변수 b에 대해, y=ax+b와 y=1/x의 두 교점의 중점의 좌표는 (-b/2a, b/2)가 되어 y=-ax위에 있다.

Theorem 7. 점 P(p,1/p)를 지나는 접선 의 x절편은 2p, y절편은 2/p이므로 P가 중점이 된다.

Theorem 9. 자명하다.

Theorem 10. Theorem 8을 생각하면 2로 일정하다는 것을 알 수 있다.

Theorem 8은 증명이 조금 복잡합니다. 물론 식 계산을 하면 단순하게 증명되겠지만, 여기서는 위 정리들을 활용하여 증명하고자 합니다.

[그림 4]

Proof of Theorem 8. 우선, 직선이 쌍곡선의 한쪽 부분에서만 만나는 경우를 생각하자. 이제 P,Q의 중점을 M라 하고, 쌍곡선의 중심 O와 이은 직선이 P가 있는 쌍곡선과 만나는 교점을 N이라 하자. 그러면 Theorem 7,8에 의해 N에서의 접선은 PQ와 평행하고, CN=DN이다. 따라서 ON은 삼각형 COD의 중선이며, 이는 삼각형 AOB에 대해서도 마찬가지이다.^[각주:2] 따라서 AM=BM이고, AP=QB가 성립한다.

 직선이 쌍곡선의 두 부분에서 한 점씩 만나는 경우엔, 위 증명에서 N을 주어진 직각쌍곡선의 켤레와 OM의 교점으로 보면 위와 비슷하게 증명할 수 있다. □

[그림 5]

이제 위 정리들을 일반화하려고 합니다. 우선, 앞의 세 정리와 Theorem 10은 쉽게 일반화됩니다.

Theorem 11. 평행한 두 직선이 쌍곡선와 각각 P와 Q, P'과 Q'과 만난다. PQ의 중점을 M, P'Q'의 중점을 M'이라 하면 M,M'은 쌍곡선의 중심을 지나는 직선 위에 있다.

Theorem 12. 쌍곡선 위의 점 P에서 그은 접선이 점근선과 A,B에서 만난다고 하면, P는 AB의 중점이다.

Theorem 13. 임의의 직선이 점근선과 A,B에서, 쌍곡선과 P,Q에서 만난다고 할 때, AP=QB이다.

Theorem 14. 쌍곡선의 접선과 점근선이 이루는 삼각형의 넓이는 일정하다.

 증명도 그리 어렵지 않습니다. 주축에 대한 압축(팽창)을 시키면 직각쌍곡선으로 바꿀 수 있고, 일차변환이 일직선상에 있는 길이의 비를 보존하므로 앞의 세 정리가 직각쌍곡선이 아닌 쌍곡선에 대해서도 일반화됩니다. 비슷하게 Theorem 14도 증명됩니다.

그러나 Theorem 9는 조금 다릅니다.

Theorem 15. 쌍곡선 위의 어떤 점 P를 잡자. P를 지나며 쌍곡선에 평행한 두 직선이 점근선과 각각 Q,R에서 만난다고 하면, PQ×PR이 일정하다.

 이것 역시 증명은 쉽습니다. 그러나, 우리는 Theorem 15를 좀 더 일반화하려고 합니다.

Theorem 16. 벡터 OP,OQ가 주어져있다. 점근선이 l,m인 쌍곡선 상에 임의로 주어진 점 A에 대해 OP 방향으로 직선을 그어 l과 만나는 교점을 D, OQ 방향으로 직선을 그어 m과 만나는 교점을 E이라 하자. 그러면 AD×AE가 일정하다.

[그림 6]

Proof of Theorem 16. 

Theorem 15에 의해 AB×AC가 일정하다. 그리고 AD, AE는 A의 위치에 상관없이 각각 AB, AC에 대해 항상 각 α,β(상수)를 이룬다. 두 점근선이 이루는 각을 θ라 하면, △ADB와 △AEC에 sine법칙을 써서 AD,AB가 각각 AB,AC의 상수배 차이가 난다는 것을 보일 수 있다. (∵∠DBA=∠ECA=θ) □

Corollary 17. 쌍곡선 상의 임의의 점 A에 대해, A와 각 점근선 사이의 거리의 곱은 일정하다.

Proof of Corollary 17. OP, OQ를 각각 점근선에 수직하게 잡으면 Theorem 16에 의해 증명된다. □

Corollary 18. 쌍곡선 상의 임의의 점 A에 대해, 기울기가 일정한 직선을 그어 점근선과 만나는 점을 각각 B,C라 하자. A의 위치에 상관없이 AB×AC가 일정하다.

Proof of Corollary 18. OP, OQ를 평행하게 잡으면 Theorem 16에 의해 증명된다. □

아래는 연습문제입니다. 

Exercise 1. 타원 \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}에서, A, B는 각각 타원의 장축 위에 있는 꼭지점이며, P는 (1,0)이다. P를 지나며 장축에 수직한 직선이 타원과 만나는 어떤 점을 Q라고 하자. 이때 PQ를 구하여라. 단, 타원의 방정식으로 Q의 좌표를 구하면 안 된다.

Exercise 2. 타원의 장축 위의 꼭지점을 각각 A,B라 하자. 타원 위의 점 P에 대해, P를 지나는 접선이 A를 지나며 장축에 수직인 직선과는 C에서, B를 지나며 장축에 수직인 직선과는 D에서 만난다고 할 때, AA'×BB'=b²임을 보여라. 여기서 b는 단반경의 길이다.

Exercise 3. 중심이 O인 타원의 장축 AB에 대해, A를 지나는 직선이 원, 단축과 각각 P,Q에서 만난다. 또 PQ에 평행이고, O를 지나는 직선과 타원의 교점 중 하나를 R이라 하자. 이때 AP×AQ/OR²이 P의 위치에 상관없이 1/2로 일정함을 보여라.

Exercise 4. 타원이 주어져있고, 서로 켤레인 지름^[각주:3] a,b가 있다. 중심이 타원 위에 있고, a,b에 접하는 원은 최대 두 종류가 있다. 그 반지름을 각각 r₁,r₂라 하자. r₁=r₂를 보여라.

Exercise 1. 타원을 장축에 대해 5/3배 팽창시키고, 이때 Q가 Q'으로 옮겨진다고 하자. 그러면 Q'AB가 직각삼각형이 되고, 여기서 PQ'=2√6이다. 따라서 PQ=2√6×5/3 □

Exercise 2. 장반경의 길이를 a라 하자. 역시 타원을 장축에 대해 a/b배 팽창시키면, 변환 후^[각주:4] A'B'과 원이 P에서 접하고, 따라서 △A'AO≡△A'FO, △B'BO≡△B'FO가 성립한다. 고로 AA'×BB'=FA'×FB'=OF²=a²이 성립하며, 원을 다시 압축시켜 타원으로 만들었을 때, AA'×BB'=b²을 얻는다. □

Exercise 3. 

역시 타원을 장축에 대해 원이 되도록 팽창시킨다. 변환 후, ∠RAO=φ라 하면, AQ=AO sin2φ/sinφ (∵AO=QO=PO), AR=AO secφ이므로, AP×AQ/OR²= 1/2로 일정함을 알 수 있다. 이제 다시 타원을 원이 되도록 압축시키자. AR과 OP는 평행하므로 AQ;AR:OP=AQ':AO:OP' (P', Q'은 P,Q의 x축으로의 정사영)이고, 따라서 원이 아닌 타원의 경우에도 주어진 값은 1/2로 일정하다. □

Exercise 4. 문제의 조건을 만족하는 원의 중심은 a,b가 이루는 각의 이등분선과 타원의 교점이다. AC⊥BD므로 □ABCD는 마름모다. 이제 마름모의 변이 a 또는 b에 평행하다는 것을 보이면, A,B,C,D는 넷 다 a로부터의 거리와 b로부터의 거리가 같게 되어, 문제의 조건을 만족하는 원을 그릴 수 있게 된다.

  이제 ABCD를 다른 방법으로 작도하자. 점 A에서 a,b에 평행한 선을 긋고 교점을 각각 P,Q라고 하자. 타원의 중심을 O라고 하면, □OPAQ 역시 마름모가 된다. 이제 A를 닮음의 중심으로 마름모를 AO방향으로 두 배 키운 도형을 □O'P'AQ'라 하면, 이 도형의 각 변은 a 또는 b에 평행하다. 한편 Theorem 1에 의해 P', Q', O'가 타원 위에 있고, P'O, Q'O, O'O가 a,b가 이루는 각의 이등분선이므로, □O'P'AQ'와 □CDAB는 같은 마름모이다. 즉, □ABCD의 두 변을 잡아도 a 또는 b에 평행하다. □

1. 즉, 장축이거나 단축이거나 상관없습니다. 앞으로 여기선 '장축에 대해서 팽창'시키기만 할 것입니다. 장축과 단축중 어느 것을 선택하더라도, 증명과정은 비슷합니다. [본문으로]
2. 이해가 안된다면 △CON∽△AOM, △DON∽△BOM이라는 것을 주목하라. [본문으로]
3. 두 지름 a,b가 켤레라는 것은, a와 평행인 타원의 현이 b에 의해 이등분되며, b와 평행인 타원의 현이 a에 의해 이등분된다는 것이다. [본문으로]
4. 즉, 여기서는 A라고 하면 원래 점 A가 아니라, 변환된 점 A를 가리키는 것입니다. [본문으로]