정육면체를 잘라서 생기는 삼각형은 모두 예각삼각형이다!

Theorem 1. 세 양수 a,b,c가 예각삼각형의 세 변이 될 필요충분조건은 양수 x,y,z가 존재하여
\begin{cases} a^2=x^2+y^2 \\ b^2=y^2+z^2 \\ c^2=z^2+x^2 \end{cases}인 것이다.

Proof of Theorem 1.
(\Rightarrow ) \quad x^2=\frac{c^2+a^2-b^2}{2}, y^2=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}, z^2=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}로 잡으면 위 식이 성립한다.
(\Leftarrow ) 위와 같이 a,b,c를 잡으면 a^2+b^2>c^2, b^2+c^2>a^2, c^2+a^2>b^2 이 성립하므로 예각삼각형이 된다.


Corollary 1. 직각사면체 O-ABC(직각은 O에 모임)에서 삼각형 ABC는 반드시 예각삼각형이다.

옛날에 다소 조잡하게 증명했던 기억이 나는군요. 내가 봐도 이건 멋진 방법이다.