합을 곱으로 바꾸기

이번엔 그리 거창한 건 아니고 합을 곱으로 바꾸는 방식을 유도해보려고 합니다. 그러나, 삼각함수 합공식에서 이끌어내는 것이 아닌, 벡터의 직교좌표를 극좌표로 바꾸는 방법을 이용하겠습니다. (벌써 파악이 되시는 분이 있으신가요?)

\vec{A} = (\cos \alpha , \sin \alpha ), \vec{B} = (\cos \beta , \sin \beta )를 생각해봅시다. 이 둘을 합하면 당연히 \vec{A} +\vec{B} = (\cos \alpha +\cos \beta , \sin \alpha +\sin \beta )가 될 것입니다.

그러면, 저 벡터는 어떻게 극형식으로 나타날까요?
우선, 저 벡터의 크기를 구해보기로 합시다. \vec{A}와 \vec{B}의 편각차이는 \beta - \alpha가 될 것입니다. 따라서 우리는 저 벡터의 크기가 2 \cos (\frac{\alpha - \beta}{2} )임을 알 수 있습니다.

한편 저 벡터의 편각은 \frac{\alpha + \beta }{2}입니다. 따라서 (\cos \alpha +\cos \beta , \sin \alpha +\sin \beta ) = \left( 2 \cos( \frac{\alpha - \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}), 2 \cos( \frac{\alpha - \beta}{2}) \sin ( \frac{\alpha + \beta}{2}) \right)입니다.