꼬인위치에 있는 두 직선의 공통수선

Theorem 1. 공간상의 두 직선 a,b가 꼬인 위치에 있다고 하자. 이 때 이 둘과 동시에 직교하는 직선은 유일하게 존재한다. 그 직선을 공통수선이라고 한다.

Proof of Theorem 1.

우선 그런 직선이 존재함을 보이겠다.
b 상의 어느 점 P를 잡고 이를 지나며 a와 평행한 직선 c를 긋자. 이제 bc를 지나는 평면 α에 수직이고 a를 지나는 평면 β를 생각할 수 있다. α와 β의 교선은 a와 평행한데, a와 b가 평행하지 않으므로 이들의 교점이 존재한다. 그 점을 B라고 하자. 이제 B에서 a로 수선의 발 A를 내리자. α와 β가 직교하고 AB가 c와 직교하므로 AB는 α와 직교하며, 따라서 AB는 b와 직교한다. 또한 가정에 따라 AB는 a에 직교하니, AB는 우리가 구하려는 직선이 된다.  

이제 그런 직선이 유일함을 보이겠다.
a,b 위에 각각 A',B'이 있어 A'B'이 a,b에 직교한다고 하자. A'B'이 c에 직교하므로 A'B' 역시 α에 수직이다. 그런데 A'에서 α로 내린 수선의 발은 α와 β의 교선 위에 있어야만 한다. 왜냐하면 AB와 A'B'이 평행하므로 그 네 점은 같은 평면 위에 있어야 하기 때문이다. 그러면 B'=B일 수밖에 없고 B'를 지나며 a에 직교하는 직선은 AB로 유일하므로 A'=A이다.

Cabri 3D로 그림그리기 참 어렵군요; 저기 A''은 왜 넣었는지 미스테리.