FHxFH=bb

Lemma 1.1. F₁,F₂를 초점으로 하는 타원을 생각하자. 점 P를 지나는 접선으로 초점 F1에 수선의 발을 내리자. 그 수선의 발은 타원의 중심을 중심으로 하고 장반경을 반지름으로 하는 원 위에 있다.

Proof of Lemma 1.1.
 

F1을 접선에 대칭시킨 점을 F'1이라 하자. 그러면 PF1 + PF₂ = PF1 + PF₂ =2a이다. 여기서 a는 장반경의 길이다. 한편 접선에 내린 수선의 발 H₁은 F1F'1의 중점이고 타원의 중심 O도 F1 F₂의 중점이다. 따라서 H1O=a이다.  

Theorem 1. 위와 같은 상황에서 F₂에서 접선에 내린 수선의 발을 H₂라고 하자. 이때 F1H1×F₂H₂=b²이다. 여기서 b는 단반경의 길이이다.
Proof of Theorem 1.
 

타원과 장축이 만나는 점을 A,B라고 하고, AB를 지름으로 하는 원을 생각하자. 그러면 위의 lemma에 의해 H1, H₂는 그 원 위에 있다. H₂를 O에 대칭시킨 점을 H'₂라고 한다면 F1O=F2O, H₂O=H'₂O, ∠F2OH2=∠F₁OH'2므로 △F₁OH'₂≡△F₂OH₂이다. 따라서 F₂H₂=F₁H'₂이다. 고로 F₁H₁×F₂H₂=AF₁×BF₁=(a-f)(a+f)=b²이 성립한다. 여기서 f는 중심에서 초점까지의 거리이다.