3차방정식 풀기

 이 글은 다소 식상한 글이 되겠습니다.

 우선, 복소수 범위 내에서 이차방정식을 풀려고 합니다. 우선 간단한 꼴의 이차방정식

x^2=k

는 k가 0이 아닌 이상에야 편각이 π 차이나는 두개의 근을 갖습니다. 이 근 중 앞으로 편의상 k^{1/2}로 쓰겠습니다

이를 이용해서 복소수 a,b,c^[각주:1]에 대한 이차방정식

ax^2+bx+c=0

을 역시 풀 수 있고, a,b,c가 실수일 때 근의 공식을 유도하던 것과 과정이 똑같습니다. 즉

x=\frac{-b\pm (b^2-4ac)^{1/2}}{2a}

입니다.

 그러면 이제 복소수 a,b,c,d에 대한 삼차방정식

ax^3+bx^2+cx+d=0

를 풀겠습니다. 위 식을 a로 나누고 x 대신 x-b/3a을 대입하면 이 방정식은

x^3+px+q=0

꼴로 고쳐집니다. 이 방정식을 풀 수 있으면 일반적인 삼차방정식의 해를 구할 수 있습니다.^[각주:2] 또 p,q가 동시에 0인 경우는 해를 금방 구할 수 있으니, 둘 중 하나는 0이 아니라고 가정합니다.

 우리는 아래 인수분해 공식에서 풀이를 착안하려고 합니다.

x^3+u^3+v^3-3xuv=(x+u+v)(x^2+u^2+v^2-xu-uv-vx)

\iff x^3-3uvx+(u^3+v^3)=(x+u+v)[x^2-(u+v)x+(u^2-uv+v^2)]

위 식을 보고 어떻게 삼차방정식을 풀 것인지 아시겠나요? p=-3uv, q=u^3+v^3를 만족하는 u,v를 구할 수 있다면, 우리는 삼차방정식의 해를 구할 수 있습니다.

 그러면 직접 구해보지요. 근과 계수의 관계를 이용하면 다음과 같이 u³,v³에 대한 방정식을 세울 수 있습니다.

t^2-qt-\left(\frac{p}{3}\right) ^3

 위 근의 공식에 의해서, 위 방정식의 근은

t=\frac{1}{2} \left(q \pm \sqrt{q^2+4\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right) = \frac{q}{2} \pm \left(\sqrt{ \left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}\right)

 위 식에서 편의상 ±가 +인 것을 u³, -를 v³라 합시다. 물론 위 식은 아직 u³,v³을 구했을 뿐입니다. 여기서 주의하셔야 할 점은, x³=k의 근은 복소수 범위 내에서 항상 3개란 겁니다. ^[각주:3] 정확히는 x³=1의 근 중 편각이 2π/3인 것을 ω라 할 때,

k^{1/3}, k^{1/3}\omega , k^{1/3}\omega ^2

입니다. 여기서 k^{1/3}는 세 개의 근 중 하나를 아무거나 고른 것입니다. 위에서 u,v도 마찬가지입니다. u,v는 각각 세종류이고, 따라서 구할 수 있는 (u,v)의 순서쌍은 9개가 됩니다.

"음...? 그럼 삼차방정식의 근이 몇개가 되는 것임요? 아니, 대수학의 기본정리에 따라 3개여야 하잖아요."

 물론 아닙니다. 원래 걸려있는 조건은 p=-3uv인데, 우리는 그 조건의 충분조건인 p³=-27u³v³를 썼습니다. 따라서 아홉 개의 순서쌍 중 p=-3uv을 만족하는 것은 정해져 있습니다. 그리고 그런 순서쌍은 물론 정확히 3개입니다. 그리고 어느 순서쌍 (u,v)를 취하건, 같은 식을 인수분해한 것이기 때문에 근은 세 경우에 대해 똑같이 나옵니다. 따라서 우리는 주어진 삼차방정식이 어떻게 일차식과 이차식으로 인수분해되는지 알 수 있습니다.

 따라서 우리는 복소수 범위에서 삼차방정식의 근을 구했습니다.

 

1. 물론 a는 0이 아닙니다. [본문으로]
2. 위에서 밟은 과정을 다시 역으로 밟으면 됩니다. [본문으로]
3. 물론 k가 0이 아닐때입니다. [본문으로]