리커리시의 낙서장

Problem 1. 볼록사각형 ABCD를 밑면으로 하는 뿔 O-ABCD가 있다. 이 뿔의 단면이 평행사변형이 되도록 하는 단면이 있음을 보여라.

Thinking. 그 평면을 이미 찾았다고 가정해보고, 평행사변형을 PQRS(각각 OA=a, ... 위에 있음)라 하자. 그러면 평면을 위아래로 왔다갔다 이동시키면 계속 평행사변형이니까, 점 하나를 고정시킬 수 있다.

그래서 한 번 P를 고정시켜보았지만, 아무런 성과가 없었다. 그러면 어떻게 찾을 수 있을 것인가...

그랬다가 AC와 BD의 교점을 쓸 생각을 해보았다. 그렇다면 평면 AC와 BD의 교선 위에 점을 하나 고정시키면 되겠다. 그 점을 T라 하면, T는 평행사변형의 대각선의 교점이 되어야 하고... !!

Lemma 1. 각 XOY이 있고, 그 내부에 점 T가 있다. T를 지나는 직선이 반직선 OX, OY와 X', Y'라 하면, X'T=Y'T를 만족하게 하는 직선이 존재한다.

이것의 증명은 쉬운 편이다 X'T/Y'T를 함수로 생각하고, 중간값 정리를 쓰면 된다.

Proof of Problem 1.

각 AOC와 점 T에 대해 Lemma를 적용시켜 점 P,R을 찾고, 각 BOD와 점 T에 대해 또 Lemma를 적용시켜 점 Q,S를 찾으면 된다.