리커리시의 낙서장

포공 면접 기출로 몇 번 나왔던 문제로 기억합니다.

Problem. \alpha >0일 때, \sum _{n=0} ^{\infty} \{ n\alpha \}가 수렴하는 \alpha를 모두 구하여라.

Solution. 위 합이 수렴할 필요충분조건은 \alpha가 정수인 것이다. 정수라면 위 합이 수렴함이 자명하다.
그리고 정수가 아닐 경우 다음 Lemma가 성립한다.

Lemma. \{ n\alpha \} \ge 0.5 인 n이 무한히 많다.

Proof of Lemma. 만약 유한하다고 하면, 어떤 자연수 N이 있어 \{ N\alpha \}, \{ (N+1)\alpha \},\{ (N+2)\alpha \},\cdots가 모두 0.5보다 작아야 한다. 그러면 이 수열은 계속 증가하는 등차수열이 되는데, 강증가하면서 유계인 등차수열은 없다. ■

이제 우리는 \sum _{n=0} ^{\infty} \{ n\alpha \}> \sum _{\{ n\alpha \} \ge 0.5} \{ n\alpha \}>\sum _{\{ n\alpha \} \ge 0.5} 0.5}로부터 \alpha \notin \mathbb{Z}일 때 주어진 합이 발산함을 안다. ■

사족을 달자면, 0.5 대신 0.1, 1/π 같은 걸 써도 전혀 상관없음을 알 수 있습니다.