리커리시의 낙서장

피타고라스 정리와 형태가 유사해서 3차원 피타고라스 정리라고도 부르는 것인데, 한 번 어떤 정리인지 알아봅시다.

Theorem 1. 사면체 O-ABC가 직각사면체(즉, O를 한 꼭지점으로 하는 정육면체를 잘랐을 때 나오는 사면체)일 때 다음이 성립한다:
[OAB]^2+[OBC]^2+[OCA]^2=[ABC]^2
이를 위해 다음 두 보조정리를 증명해보기로 합시다.
Lemma 1.1. 직각사면체 O-ABC에서, O에서 평면 ABC로 내린 수선의 발을 H라 하자. 그러면 H는 ABC의 수심이다.
Proof of Lemma 1.1

OH가 평면 ABC에 직교하고, OA가 평면 OBC와 직교하므로 OA⊥BC다. 따라서 삼수선 정리에 의해 AH⊥BC이다. 비슷한 방법으로 BH⊥CA, CH⊥AB임을 보일 수 있다. 즉 H는 ABC의 수심이다.

 Lemma 1.2. [BCO]^2=[BCH][ABC]

Proof of Lemma 1.2
A에서 BC로 내린 수선의 발을 D라고 하자. 그러면 Lemma 1.1에 의해 H가 AD 위에 있고, 따라서
[BCO]=OD\times BC, [BCH]=HD\times BC, [ABC]=AD\times BC 이 성립하므로 다음을 보여도 된다 :
OD^2=AD\times HD
그런데 OA가 평면 OBC와 직교하므로 OA⊥OD이다. 즉 삼각형 OAD가 직각삼각형이므로 이 등식이 성립한다. 

Proof of Theorem 1.
Lemma 1.2에 의해 [BCO]^2=[BCH][ABC] 이다. 이와 비슷한 방법으로 [CAO]^2=[CAH][ABC], [ABO]^2=[ABH][ABC] 역시 보일 수 있다. 세 식을 다 합하면 우리가 원하는 정리가 이끌어진다.


이제 3차원 Inverse Pythagorean Theorem를 이끌어봅시다!

Theorem 2. 위에서 있던 것과 같은 직각사면체 O-ABC에서 다음이 성립한다 :
\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}=\frac{1}{OH^2}

Proof of Theorem 2.
Inverse Pythagorean Theorem을 두 번 적용하면
\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OD^2}=\frac{1}{OH^2}이다.


참고하면 좋은 자료 : http://www.cs.bc.edu/~alvarez/NDPyt.pdf
n차원으로 이 정리를 확장한 것의 증명입니다. 정리의 확장이야 어떻게 될 지 쉽게 예상되므로 생략합니다.