여기서
Solution of Problem.
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원래 문제는
http://blog.naver.com/dongq98/149952585 에 있습니다.
마주보는 변 길이 구하는 줄 알고 '우이씨 숫자가 왜이리 복잡해, 이 풀이 안 좋아지는데' 하다가 각이라는 걸 알고 orz 그리고 올립니다.
AB=AD=BD=1+√3
DC=DE=1
여기서 ∠DEC=∠DCE=30도임을 외각의 성질에서 확인할 수 있다. 또 CE=EB=√3이므로 ∠ECB=∠EBC=15도이다. (역시 외각의 성질에서 확인 가능)
따라서 ∠B=75도, ∠C=45도
원래 네이버 블로그에 올렸으나 제가 네이버 블로그는 서로이웃 공개로 운영하는 관계로 여기 또 올립니다.
p.s. 추가합니다. 그냥 말로만 하겠습니다.
위 그림과 같은 ABC를 생각합시다. 이제 C에서 AB로 수선의 발 D를 내리고 A를 CD에 대칭시킵니다. (A'이라고 합시다.)
그러면 AD=1+√3/2이고 따라서 DB=
√3/2, A'B=1입니다. 한편 CD=
√3/2 (2+
√3)이고, A'C=AC=2+√3입니다. 따라서 CD:CA'=BD:BA'이고, 따라서 BC는 각 DCA'를 이등분합니다. 따라서 각 C는 45도. 나머지 각은 구할 수 있겠죠?
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BD가 AC와 만나는 점을 E라고 하고, A에서 BC에 평행하게 그은 선이 BE와 F에서 만난다고 하자. 그리고 AC위에서 BC=BG를 만족하게 점 G를 잡자. 그러면 ∠EDC=
∠ECD=30˚이므로 ED=EC.
∠AFB=∠FBC=∠ABF=20˚므로 AB=AF다. 한편 △AFE∽△CBE이므로 AE:EC=AF:BC이고, 따라서 AE:ED=AB:BG이다. 또 ∠G=40˚,
∠GAB=80˚므로 ∠GBA=60˚이다. 한편 ∠AEB=60˚므로 △AED∽△ABG. ∴
∠DAC=∠GAB=80˚
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피타고라스 정리와 형태가 유사해서 3차원 피타고라스 정리라고도 부르는 것인데, 한 번 어떤 정리인지 알아봅시다.
Theorem 1. 사면체 O-ABC가 직각사면체(즉, O를 한 꼭지점으로 하는 정육면체를 잘랐을 때 나오는 사면체)일 때 다음이 성립한다:
이를 위해 다음 두 보조정리를 증명해보기로 합시다.
Lemma 1.1. 직각사면체 O-ABC에서, O에서 평면 ABC로 내린 수선의 발을 H라 하자. 그러면 H는 ABC의 수심이다.
Proof of Lemma 1.1
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