Problem. 부피가 1이고 모든 꼭지점이 격자점인 정육면체를 단위정육면체라고 하자. 평면
Lemma 1. xy평면상의 도형 S가 있다. S(t)를 원점을 중심으로 S를 t배 닮음변환했을 때 넓이라고 하고, 이 때 S와 만나는 단위정사각형의 총 넓이의 합을 N(t)라 하자. 이 때
Sketch of Proof of Lemma 1. 거꾸로, 격자를 1/t배로 줄이자. 그러면 중적분과 비슷한 아이디어로, 격자를 축소하면 축소할수록 N(t)는 S(t)에 가까워진다. 정확한 증명은 격자를 1/t배로 줄인 좌표평면과, 도형을 t배 늘린 좌표평면을 비교함으로써 얻어질 수 있을 것이다.□
Lemma 2. xy평면상의 도형 S가 있다. S(t)를 원점을 중심으로 S를 t배 닮음변환했을 때 넓이라고 하고, L(k,t)를 y=k와 도형 S가 만나는 단위직선에서, 위로 올린 단위정사각형의 총 넓이라 하자. 이 때
Sketch of Proof of Lemma 2. 도형이 t배 확대된 xy평면을 π라 하고, 격자가 거꾸로 1/t배로 줄어든 xy평면을 π'라 하자. 그러면 π의 직선 y=k는 π'에서 y=k/t가 된다. 따라서 π에서 L(k,t)는 π'에선 L(k/t, 1)*1/t와 같다. 이제 극한 t→∞ 를 취하면 위 식의 ∑안의 식은 y=u(u는 어떤 상수)를 도형 S가 자르는 길이가 될 것이고, 시그마 식은 적분이 되어 넓이와 같아진다. □
이제 본 문제를 풀려고 한다.
Proof of Problem.특수한 경우부터 고찰할 것이다. k<z<k+1이라 했을 때, Sq가 자르고 지나가는 단위정육면체의 갯수를 구하자. 우리는 이 문제를 평면의 문제로 환원할 수 있는데, Sq의 k<z<k+1인 부분을 z=k에 정사영시킨 도형이 지나가는 단위정사각형의 갯수를 세면 된다.
이제 k<z<k+1에서 자르고 지나가는 단위정육면체의 갯수를 N(k)라 하면
이제
가 된다. 여기서 Lemma 1에 의해
이다.
이제 nl(k)를 구하자. l(k)는 격자점을 지나지 않기 때문에, l(k)의 x축으로의 정사영이 지나는 단위선분의 갯수를 nlx(k)라 하고 nly (k)도 비슷하게 정의할 때 nl(k) = nlx(k) + nly(k) -1이 된다.
여기서 -1은 아무리 합해봐야 O(t)일 것이므로 무시할 수 있고, 대칭성에 의해 nlx(k)의 합만 구해도 무방하다. l(k)가 모두 Sq 위에 있으므로 lx(k)들도 모두 Sq를 yz평면 위에 정사영 한 모양을 이룬다. 따라서 lemma 2에 의해
가 된다. 따라서
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