이 글은 다소 식상한 글이 되겠습니다.
우선, 복소수 범위 내에서 이차방정식을 풀려고 합니다. 우선 간단한 꼴의 이차방정식
는 k가 0이 아닌 이상에야 편각이 π 차이나는 두개의 근을 갖습니다. 이 근 중 앞으로 편의상
을 역시 풀 수 있고, a,b,c가 실수일 때 근의 공식을 유도하던 것과 과정이 똑같습니다. 즉
입니다.
그러면 이제 복소수 a,b,c,d에 대한 삼차방정식
를 풀겠습니다. 위 식을 a로 나누고 x 대신 x-b/3a을 대입하면 이 방정식은
꼴로 고쳐집니다. 이 방정식을 풀 수 있으면 일반적인 삼차방정식의 해를 구할 수 있습니다. 또 p,q가 동시에 0인 경우는 해를 금방 구할 수 있으니, 둘 중 하나는 0이 아니라고 가정합니다. 2
우리는 아래 인수분해 공식에서 풀이를 착안하려고 합니다.
위 식을 보고 어떻게 삼차방정식을 풀 것인지 아시겠나요?
그러면 직접 구해보지요. 근과 계수의 관계를 이용하면 다음과 같이 u³,v³에 대한 방정식을 세울 수 있습니다.
위 근의 공식에 의해서, 위 방정식의 근은
위 식에서 편의상 ±가 +인 것을 u³, -를 v³라 합시다. 물론 위 식은 아직 u³,v³을 구했을 뿐입니다. 여기서 주의하셔야 할 점은, x³=k의 근은 복소수 범위 내에서 항상 3개란 겁니다. 정확히는 x³=1의 근 중 편각이 2π/3인 것을 ω라 할 때, 3
입니다. 여기서
"음...? 그럼 삼차방정식의 근이 몇개가 되는 것임요? 아니, 대수학의 기본정리에 따라 3개여야 하잖아요."
물론 아닙니다. 원래 걸려있는 조건은 p=-3uv인데, 우리는 그 조건의 충분조건인 p³=-27u³v³를 썼습니다. 따라서 아홉 개의 순서쌍 중 p=-3uv을 만족하는 것은 정해져 있습니다. 그리고 그런 순서쌍은 물론 정확히 3개입니다. 그리고 어느 순서쌍 (u,v)를 취하건, 같은 식을 인수분해한 것이기 때문에 근은 세 경우에 대해 똑같이 나옵니다. 따라서 우리는 주어진 삼차방정식이 어떻게 일차식과 이차식으로 인수분해되는지 알 수 있습니다.
따라서 우리는 복소수 범위에서 삼차방정식의 근을 구했습니다.
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